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第24部分（第3页）

自然也许是简单的，但“自然的那些简单性并不直接呈现在我们面前，而是以其独特的、难以捉摸的方式表现出来”

。

对于我们的感性来说，看上去相同就是相同，看上去不同就是不同。

鸽子、蝙蝠、蚊子的翅膀看上去是一类东西，我们就把它们归为一类东西。

借助数学之类的推理，我们才穿透现象的拦截，达乎结构性的知识。

洗去了现象象征，数才变成纯粹的数，数学之数。

数字不象征什么别的东西，无涉乎数以外的东西。

数字本身没有内涵，每一个数的“意义”

都由其他的数来界定，数字之间的关系是纯粹外部的关系。

如此获得自主的数学是“科学的”

数学。

科学的数学不受现象的束缚，从而获得自治，可以安然地按照逻辑来发展。

正多面体正好有五种，但这不是从五行推衍出来的，而是在数学内部加以证明的。

今天我们说到的数学，是洗去了象征的、纯粹的数之间的演算。

从一个算式通往另一个算式是证明，或曰严格的演绎证明〔demonstration〕，而不可借助任何其他东西如象征、想象。

证明方法在希腊最为发达，欧几里德几何学是最突出的成就，即使在今天，用《几何原本》来作初级教育的教科书也无大碍。

像希腊思想的其他因素一样，数学对希腊人也是舶来品，来自巴比仑、埃及，但是，像其他舶来品一样，数学到了希腊，改变了自己的面貌。

“从一开始，希腊数学同埃及、巴比仑的数学就有区别；……希腊几何学所追求的目标是抽象的几何知识、规范的推理和证明方法。”

与之对照，如史蒂芬·巴克尔所言，“作为东方数学中的一种典型做法，巴比仑人、印度人和阿拉伯人并不怎么关心给出有关的证明来，更不必说把他们关于数的知识组织成公理化形式的系统了。”

数学史家斯科特表达了相同的看法：“在整个东方数学中，任何地方都找不到丝毫的证据可以看出有我们所称之为证明的那种东西。”

斯科特接着引用Sedgwick　and　Tylor说，印度数学家对我们所说的数学方法是没有什么兴趣的。

他这里说东方主要是指印度，但也包括中国：在同一章的最后他也说到，“在中国人手里，也像在印度人手里一样，数学这门学科并不是那么抽象的。”

研究中国古代史的许倬云也说：“中国的数学发展就好像是为了作实际的四则杂题一样发展来的，并不是为了抽象的思考而发展的。”

　他还说到十部算经里大约有3000道题目，“没有所谓推演、定理或公理……当时训练数学家的方式不管抽象思考，只管计算，通过这些训练的学生就成为算学博士，但算学博士的地位在所有官吏里最低，待遇也最差。

筹算之士不能进入知识分子的阶层，不过与医师技工一般。”

获得这种自主性的数学成为一种自主的语言。

语言和现实不是两种事物，可以类比：相似、相同、不同。

语言是现实的一种呈现方式。

对于自主的数学来说，自然现象不再通过类推的方式和数发生联系。

欧几里德发现，光线在镜面上发生折射的时候，入射角等于反射角。

这和一条几何定理相应：在一条直线〔XX’〕同一边的任意两个点A和B，经过该直线上的一点P相连，当∠APX＝∠BPX’，连线〔APB〕最短。

用克莱因81的图。

在这里，欧几里德并非发现有一种光学现象和一种几何现象相同，而是在表明，光的折射本来就是一种几何现象，或更确切说，几何语言才能更准确地更有效地描述光的折射，从而使我们能够对光线的静态关系进行更深入的研究。

在欧几里德的论证中，现象和数理之间的相应获得了我们现在所习惯的科学形式，一种完全无涉感应的形式。

同时，它也不是对已知现象的事后追加的概括，而是服从于自主原则的理智活动。

作为一种语言的数字既不是与其他事物平级的一种特殊事物，也不是现实事物的概括。

语言的产生包含概括过程，但语言不是用来概括的。

几何定理并不是光学定理的更高层次上的概括，而是，几何语言使得光线的关系能够用几何语言来描述和研究。

科学采用数学语言以构建科学理论。