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第七十八章 幸不辱命（第1页）

这种感觉很奇妙。

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庞学林从来没有想过，原本用来解决数论问题的庞氏几何，竟然还能与非线性偏微分方程联系在一起。

突如其来的灵感突然发散出去，瞬间，各种奇思妙想开始在庞学林的脑海里涌现。

“在与曲面相关的偏微分方程组中，首先需要解决的，便是复结构的存在性问题！

这一点，可以从一个经典的老问题入手！

即：给定n维实微分流形m上的一个近复结构j，什么时候这个近复结构是由复结构诱导出来的”

“给定的近复结构j由某复结构诱导，当且仅当在每一点的某邻域内都有局部实坐标{^1，^，^3^n-1，^n}，使得jj=^jn，j^jn=-^j，因为如果存在这样的局部坐标卡集，则复坐标卡集{i^n1，，^ni^n}之间的转换函数便适合cauchy-riemann方程组，从而是全纯函数;逆命题则显然成立。

接下来，可以把问题归结为寻找这样的好坐标系，或求解一些一阶线性微分方程组。”

“高维情形:nender-nirenberg定理。

近复结构m是（1，1）型张量场，故可以作用到余切丛上在每一点pm处，复化切空间tpmc都可分解为相应于特征值i的两个子空间的直和。

根据连续性，便可得到复化切丛的直和分解”

“引理：设m是紧riemann流形。

考虑其上的微分方程δu=（，u），：m*rr是光滑函数。

如果存在u-，uc^（m）使得u-u，δu-（，u-）0，δu（，u）0，则存在解c^（m）满足u-uu”

时间一分一秒过去，一行行犹如天书一般的符号飞快在庞学林笔下流出，填满一张又一张稿纸。

庞学林徜徉在数学的海洋里，一步步完善庞氏几何的理论框架，充实其血肉上。

越是研究，庞学林越感觉到，自己所开创的庞氏几何理论，背后隐含着的广阔空间。

这就好比当年开创了群论的伽罗瓦，将代数研究提升到了一个全新的领域。

庞学林甚至隐隐意识到，当年格罗滕迪克老爷子为什么要研究远阿贝尔几何了。

庞氏几何是在远阿贝尔几何的基础上开创出来的，在庞氏几何的基础上，庞学林隐隐感觉到，代数与几何正在相互融合。

从笛卡尔时代，通过坐标轴将代数与几何有机结合起来，形成了解析几何学，再到黎曼开创代数几何学说，代数与几何这两门数学领域的重要支流，既有着极大的区别，彼此间又有着深刻的内在联系。

然而，在各大学科枝丫分叉越来越细的时代，想要将代数与几何这两大命题统一起来，几乎是一个不可能的任务。

但庞学林提出的这个庞氏几何理论，却让代数与几何隐隐有了汇流的趋势，两者之间真正有了沟通的桥梁。

或许当年格罗滕迪克老爷子也有类似的想法，只可惜老爷子走得早，只提出了远阿贝尔几何的一个理论框架。

如今，庞学林在远阿贝尔几何的基础上提出的庞氏几何，正在完成格罗滕迪克老爷子未尽的心愿。

这套理论不仅能解决数论领域的相关难题，甚至在非线性偏微分方程组领域，也有着重要的作用。